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postado por cantorslonim.com 2024/10/7 22:08:39

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As controvérsias envolvendo a TV Globo referem-se ao extenso histórico de polêmicas nas relações desta rede de televisão brasileira com ⚾️ a sociedade do país.

[1] A emissora possui uma capacidade sem paralelo de influenciar a cultura e a opinião pública.[2]

A principal ⚾️ polêmica histórica da estação televisiva e das Organizações Globo (hoje Grupo Globo) está ligada ao apoio dado à ditadura militar ⚾️ e a censura dos movimentos pró-democracia nos noticiários do canal.

O regime, segundo os opostos à emissora, teria rendido benefícios ao ⚾️ grupo midiático da família Marinho, em especial para o canal de televisão que, em 1984, fez uma cobertura omissa das ⚾️ Diretas Já.

[3] A própria Globo reconheceu em editorial publicado no jornal O Globo, 49 anos depois e pressionada pelas manifestações ⚾️ de junho de 2013,[4][5][6] que o apoio ao golpe militar de 1964 e ao regime subsequente foi um "erro".[7]

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Atualmente, o preço da aposta 7️⃣ simples, com seis dezenas, é de R$ 5,00, a partir do concurso 2588 (03/05/2023).

Nota: Para mais informações sobre a criação 7️⃣ da Mega-Sena, veja Para mais informações sobre a criação da Mega-Sena, veja Primeiro concurso da Mega-Sena

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Mas e se você tivesse apostado R$ 100 no Rich Strike? 👍 Vamos calcular o possível retorno financeiro com base nas odds oficiais do Derby de Kentucky.

Em primeiro lugar, é importante entender 👍 que as odds de 80-1 significam que, por cada R$ 1 apostado, você ganharia R$ 80 além de seu investimento 👍 inicial. Isso significa que, se você tivesse apostado R$ 100, você ganharia R$ 800.

No entanto, é importante lembrar que as 👍 casas de apostas costumam ter uma pequena taxa de serviço, geralmente entre 5% e 10% do valor total apostado. Supondo 👍 uma taxa de serviço de 10%, isso significa que você teria que pagar R$ 80 em taxas de serviço, deixando-o 👍 com um retorno total de R$ 720.

Em resumo, se você tivesse apostado R$ 100 no Rich Strike, seu possível retorno 👍 financeiro seria de R$ 720, considerando uma taxa de serviço de 10%.

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desaparecer.

Estratégias para ganhar no Aviator

Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos 3️⃣ passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa.

Em particular, um martingale é uma sequência 3️⃣ de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança 3️⃣ do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente 3️⃣ observados.[1]

O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.

Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade 3️⃣ de falência.

Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode 3️⃣ ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.

Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as 3️⃣ cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros.

Assim, o valor esperado do 3️⃣ próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o 3️⃣ do presente evento se uma estratégia de ganho for usada.

Martingales excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico 3️⃣ do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.

É também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações 3️⃣ perdidas.

Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim sucessivamente, até o acerto.

Martingale é o sistema de apostas mais 3️⃣ comum na roleta.

A popularidade deste sistema se deve à ganhar dinheiro jogando dota simplicidade e acessibilidade.

O jogo Martingale dá a impressão enganosa de 3️⃣ vitórias rápidas e fáceis.

A essência do sistema de jogo da roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma 3️⃣ chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você 3️⃣ perder, dobramos e apostamos $ 2.

Se perdermos na roleta, perderemos a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 3️⃣ 1) de $ 3.4, por exemplo.

duas apostas ganham (1 + 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de 3️⃣ $ 1 na roleta.

Se você perder uma segunda vez na roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).

Se 3️⃣ ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da 3️⃣ roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino [2].

Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de 3️⃣ estratégias de aposta popular na França do século XVIII.

[3][4] A mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em 3️⃣ que o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa.

A estratégia fazia o apostador 3️⃣ dobrar ganhar dinheiro jogando dota aposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além 3️⃣ de um lucro igual à primeira aposta.

Conforme o dinheiro e o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, 3️⃣ a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como 3️⃣ algo certo.

Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que 3️⃣ a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma 3️⃣ vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites às apostas).

Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, 3️⃣ pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.

O conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por 3️⃣ Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome.

[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 3️⃣ por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales contínuos.

[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por 3️⃣ Joseph Leo Doob, entre outros.

[8] Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]

Uma definição 3️⃣ básica de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis 3️⃣ aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo 3️⃣ n {\displaystyle n} ,

E ( | X n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }

E ( 3️⃣ X n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, X n ) = X n .

{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid 3️⃣ X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}

Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente 3️⃣ observação.[10]

Sequências martingale em relação a outra sequência [ editar | editar código-fonte ]

Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 3️⃣ 2 , Y 3 , ...

{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...

} é considerada um martingale em relação a outra sequência X 1 , X 3️⃣ 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} se, para todo n {\displaystyle n} ,

E ( | Y n | ) 3️⃣ < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }

E ( Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, 3️⃣ X n ) = Y n .

{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}

Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em 3️⃣ relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo 3️⃣ t {\displaystyle t} ,

E ( | Y t | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }

E ( 3️⃣ Y t ∣ { X τ , τ ≤ s } ) = Y s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle 3️⃣ \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}

Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de 3️⃣ qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é 3️⃣ igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).

Em geral, um processo 3️⃣ estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times \Omega \to S} é um martingale em relação a uma 3️⃣ filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade P {\displaystyle P} se

Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de 3️⃣ probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ,\Sigma ,P}

espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ 3️⃣ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma 3️⃣ _{\tau }}

função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ 3️⃣ t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}

E P ( | Y t | ) < + ∞ 3️⃣ ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}

Para todo s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s

E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) 3️⃣ = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do 3️⃣ evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ 3️⃣ s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 3️⃣ ]

É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual 3️⃣ os valores esperados são assumidos).

É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em relação a uma medida, mas não 3️⃣ em relação a outra.

O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo 3️⃣ de Itō é um martingale.[12]

Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ]

Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número 3️⃣ de dimensões) é um exemplo de martingale.

O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta 3️⃣ com que ele se envolver forem honestos.

Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.

A cada iteração, 3️⃣ uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor.

Para qualquer cor dada, a fração 3️⃣ das bolas na urna com aquela cor é um martingale.

Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda 3️⃣ que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo 3️⃣ fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo 3️⃣ número de bolas não vermelhas alteraria.

Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}

moeda honesta foi 3️⃣ jogada Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : 3️⃣ n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda 3️⃣ for jogada.

raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.

No caso de um martingale de Moivre, suponha que 3️⃣ a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}

X n 3️⃣ + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}

Y n = ( 3️⃣ q / p ) X n .

{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}

Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , 3️⃣ ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...

\}} E [ 3️⃣ Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, X n ] = p ( q / p ) 3️⃣ X n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / 3️⃣ p ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p 3️⃣ ) X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X 3️⃣ n = ( q / p ) X n = Y n .

{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}

No teste de razão de 3️⃣ verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , 3️⃣ ...

, X n {\displaystyle X_{1},...

,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}}

Y n = ∏ i = 1 n 3️⃣ g ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}

Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} 3️⃣ g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X 3️⃣ n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Suponha que uma ameba se divide em duas 3️⃣ amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n 3️⃣ = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então

{ r X n 3️⃣ : n = 1 , 2 , 3 , .

.

.

} {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}

é um martingale em relação a { 3️⃣ X n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Uma série martingale criada por software.

Em uma 3️⃣ comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o 3️⃣ número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto 3️⃣ como uma sequência de variáveis aleatórias.

Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.

Se { 3️⃣ N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { 3️⃣ N t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}

Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas 3️⃣ [ editar | editar código-fonte ]

Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação 3️⃣ atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | 3️⃣ X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...

,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior 3️⃣ à expectativa condicional.

Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o 3️⃣ estudo das funções harmônicas.

[15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X 3️⃣ τ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall 3️⃣ s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta 3️⃣ f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace.

Dado um processo de movimento browniano W t 3️⃣ {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} 3️⃣ também é um martingale.

Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , 3️⃣ .

.

.

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a

E [ X n + 1 | X 1 , .

.

.

, X 3️⃣ n ] ≥ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.

} Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E 3️⃣ [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t 3️⃣ .

{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ 3️⃣ f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n 3️⃣ {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

De forma análoga, 3️⃣ um supermartingale de tempo discreto satisfaz a

E [ X n + 1 | X 1 , .

.

.

, X n 3️⃣ ] ≤ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.

} Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ 3️⃣ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle 3️⃣ {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f 3️⃣ ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle 3️⃣ X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

Exemplos de submartingales e 3️⃣ supermartingales [ editar | editar código-fonte ]

Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale.

Reciprocamente, todo processo estocástico que é 3️⃣ tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.

Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara 3️⃣ e perde $1 quando a moeda der coroa.

Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara 3️⃣ com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 3️⃣ 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2}

Uma função convexa de um martingale é um submartingale 3️⃣ pela desigualdade de Jensen.

Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale 3️⃣ (o que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}

Martingales e tempos de parada 3️⃣ [ editar | editar código-fonte ]

Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , 3️⃣ X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de 3️⃣ que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau 3️⃣ =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ...

, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} 3️⃣ .

A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência 3️⃣ até o momento e dizer se é hora de parar.

Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que 3️⃣ um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele 3️⃣ pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com 3️⃣ base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]

Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se 3️⃣ apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X 3️⃣ t + 1 , X t + 2 , ...

{\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},...

} , mas não que isto seja completamente determinado pelo 3️⃣ histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} .

Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no 3️⃣ parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados.

Uma 3️⃣ das propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale 3️⃣ e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) 3️⃣ t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle 3️⃣ X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.

O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, 3️⃣ incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale 3️⃣ em um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.

Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de 3️⃣ jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas 3️⃣ o evento atual importa.

Em particular, um martingale é uma sequência de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o 3️⃣ qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente 3️⃣ observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.[1]

O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.

Ele pode 3️⃣ modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade de falência.

Em contraste, em um processo que não é um 3️⃣ martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo 3️⃣ seguinte.

Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir 3️⃣ a incerteza sobre os eventos futuros.

Assim, o valor esperado do próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de 3️⃣ todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o do presente evento se uma estratégia de ganho for usada.

Martingales 3️⃣ excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.

É 3️⃣ também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações perdidas.

Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim 3️⃣ sucessivamente, até o acerto.

Martingale é o sistema de apostas mais comum na roleta.

A popularidade deste sistema se deve à ganhar dinheiro jogando dota 3️⃣ simplicidade e acessibilidade.

O jogo Martingale dá a impressão enganosa de vitórias rápidas e fáceis.

A essência do sistema de jogo da 3️⃣ roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": 3️⃣ fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você perder, dobramos e apostamos $ 2.

Se perdermos na roleta, perderemos 3️⃣ a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 1) de $ 3.4, por exemplo.

duas apostas ganham (1 + 3️⃣ 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de $ 1 na roleta.

Se você perder uma segunda vez na 3️⃣ roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).

Se ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 3️⃣ 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino 3️⃣ [2].

Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de estratégias de aposta popular na França do século XVIII.

[3][4] A 3️⃣ mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em que o apostador ganhava se a moeda desse cara e 3️⃣ perdia se a moeda desse coroa.

A estratégia fazia o apostador dobrar ganhar dinheiro jogando dota aposta depois de cada derrota a fim de 3️⃣ que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além de um lucro igual à primeira aposta.

Conforme o dinheiro e 3️⃣ o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, 3️⃣ o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como algo certo.

Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os 3️⃣ apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das 3️⃣ razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites 3️⃣ às apostas).

Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.

O 3️⃣ conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse 3️⃣ dado este nome.

[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales 3️⃣ contínuos.

[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por Joseph Leo Doob, entre outros.

[8] Parte da motivação daquele trabalho 3️⃣ era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]

Uma definição básica de um martingale de tempo discreto diz que ele 3️⃣ é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , 3️⃣ ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo n {\displaystyle n} ,

E ( | X n | ) 3️⃣ < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }

E ( X n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, 3️⃣ X n ) = X n .

{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}

Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, 3️⃣ dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente observação.[10]

Sequências martingale em relação a outra sequência [ editar | 3️⃣ editar código-fonte ]

Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 2 , Y 3 , ...

{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...

} é considerada um 3️⃣ martingale em relação a outra sequência X 1 , X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} se, para todo 3️⃣ n {\displaystyle n} ,

E ( | Y n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }

E ( 3️⃣ Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, X n ) = Y n .

{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid 3️⃣ X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}

Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um 3️⃣ processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo t {\displaystyle t} ,

E ( | Y t | ) 3️⃣ < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }

E ( Y t ∣ { X τ , τ ≤ s 3️⃣ } ) = Y s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}

Isto 3️⃣ expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas 3️⃣ as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que 3️⃣ s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).

Em geral, um processo estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times 3️⃣ \Omega \to S} é um martingale em relação a uma filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade 3️⃣ P {\displaystyle P} se

Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega 3️⃣ ,\Sigma ,P}

espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} 3️⃣ Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma _{\tau }}

função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t 3️⃣ {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}

E 3️⃣ P ( | Y t | ) < + ∞ ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}

Para todo s 3️⃣ {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s

E P ( 3️⃣ [ Y t − Y s ] χ F ) = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} 3️⃣ em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como 3️⃣ Y s = E P ( Y t | Σ s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} 3️⃣ que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 ]

É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a 3️⃣ filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual os valores esperados são assumidos).

É possível que Y {\displaystyle Y} 3️⃣ seja um martingale em relação a uma medida, mas não em relação a outra.

O Teorema de Girsanov oferece uma forma 3️⃣ de encontrar uma medida em relação à qual um processo de Itō é um martingale.[12]

Exemplos de martingales [ editar | 3️⃣ editar código-fonte ]

Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número de dimensões) é um exemplo de martingale.

O dinheiro de um 3️⃣ apostador é um martingale se todos os jogos de aposta com que ele se envolver forem honestos.

Uma urna de Pólya 3️⃣ contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.

A cada iteração, uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por 3️⃣ várias outras da mesma cor.

Para qualquer cor dada, a fração das bolas na urna com aquela cor é um martingale.

Por 3️⃣ exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e 3️⃣ não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração 3️⃣ de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo número de bolas não vermelhas alteraria.

Suponha que X n {\displaystyle 3️⃣ X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}

moeda honesta foi jogada Considere Y n = X n 2 − n 3️⃣ {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle 3️⃣ \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.

raiz quadrada do número de vezes que a moeda 3️⃣ for jogada.

No caso de um martingale de Moivre, suponha que a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p 3️⃣ {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}

X n + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} 3️⃣ com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}

Y n = ( q / p ) X n .

{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}

Então, { Y 3️⃣ n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X n : n = 1 3️⃣ , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...

\}} E [ Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, 3️⃣ X n ] = p ( q / p ) X n + 1 + q ( q / p 3️⃣ ) X n − 1 = p ( q / p ) ( q / p ) X n + 3️⃣ q ( p / q ) ( q / p ) X n = q ( q / p ) 3️⃣ X n + p ( q / p ) X n = ( q / p ) X n = 3️⃣ Y n .

{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}

No teste de razão de verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f 3️⃣ {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , ...

, X n {\displaystyle X_{1},...

,X_{n}} [ 13 ] Considere Y 3️⃣ n {\displaystyle Y_{n}}

Y n = ∏ i = 1 n g ( X i ) f ( X i ) 3️⃣ {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}

Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 3️⃣ , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , 3️⃣ ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Suponha que uma ameba se divide em duas amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 3️⃣ 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} 3️⃣ p {\displaystyle p} [ 14 ] Então

{ r X n : n = 1 , 2 , 3 , .

.

.

3️⃣ } {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}

é um martingale em relação a { X n : n = 1 , 2 , 3 3️⃣ , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Uma série martingale criada por software.

Em uma comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico 3️⃣ particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado 3️⃣ é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto como uma sequência de variáveis aleatórias.

Esta sequência é um martingale 3️⃣ sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.

Se { N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} 3️⃣ processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { N t − λ t : t ≥ 0 } 3️⃣ {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}

Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas [ editar | editar código-fonte ]

Há duas generalizações populares de 3️⃣ um martingale que também incluem casos em que a observação atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à 3️⃣ futura expectativa condicional E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...

,X_{n}]} , 3️⃣ mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior à expectativa condicional.

Estas definições refletem uma relação entre a teoria 3️⃣ do martingale e a teoria do potencial, que é o estudo das funções harmônicas.

[15] Assim como um martingale de tempo 3️⃣ contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s } − X s = 3️⃣ 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz 3️⃣ a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o 3️⃣ operador de Laplace.

Dado um processo de movimento browniano W t {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , 3️⃣ o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} também é um martingale.

Um submartingale de tempo discreto é uma 3️⃣ sequência X 1 , X 2 , X 3 , .

.

.

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a

E [ X 3️⃣ n + 1 | X 1 , .

.

.

, X n ] ≥ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.

} Da 3️⃣ mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ 3️⃣ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em 3️⃣ teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o 3️⃣ prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 3️⃣ 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

De forma análoga, um supermartingale de tempo discreto satisfaz a

E [ X n 3️⃣ + 1 | X 1 , .

.

.

, X n ] ≤ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.

} Da mesma 3️⃣ forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s 3️⃣ } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria 3️⃣ do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo 3️⃣ "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 3️⃣ , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

Exemplos de submartingales e supermartingales [ editar | editar código-fonte ]

Todo martingale é também 3️⃣ um submartingale e um supermartingale.

Reciprocamente, todo processo estocástico que é tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.

Considere novamente 3️⃣ um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara e perde $1 quando a moeda der coroa.

Suponha agora que 3️⃣ a moeda possa estar viesada e que ela dê cara com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 3️⃣ / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 3️⃣ {\displaystyle 1/2}

Uma função convexa de um martingale é um submartingale pela desigualdade de Jensen.

Por exemplo, o quadrado da riqueza de 3️⃣ um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale (o que também se segue do fato de que X 3️⃣ n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}

Martingales e tempos de parada [ editar | editar código-fonte ]

Um tempo de parada em 3️⃣ relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} é uma 3️⃣ variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou 3️⃣ a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 3️⃣ 2 , X 3 , ...

, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} .

A intuição por trás da definição é que, a qualquer 3️⃣ tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência até o momento e dizer se é hora de parar.

Um 3️⃣ exemplo na vida real pode ser o tempo em que um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode 3️⃣ ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), 3️⃣ mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]

Em alguns 3️⃣ contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ 3️⃣ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X t + 1 , X t + 2 , ...

{\displaystyle 3️⃣ X_{t+1},X_{t+2},...

} , mas não que isto seja completamente determinado pelo histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} .

Isto 3️⃣ é uma condição mais fraca do que aquela descrita no parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em 3️⃣ algumas das provas em que tempos de parada são usados.

Uma das propriedades básicas de martingales é que, se ( X 3️⃣ t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, 3️⃣ então, o processo parado correspondente ( X t τ ) t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t 3️⃣ τ := X min { τ , t } {\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.

O conceito de 3️⃣ um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma 3️⃣ que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale em um tempo de parada é igual ao seu valor 3️⃣ inicial.

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