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postado por cantorslonim.com 2024/10/24 2:40:19

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Thomas dirige-se para o início da primeira Grand Tour de 2024, Giro d'Italia determinado a vingar as lágrimas amargas 💵 do ano passado quando perdeu uma corrida contra Primoz Roglic betfair como ganhar dinheiro um dramático julgamento no tempo final. "Foi difícil e 💵 desafiador momento mas não foi como se eu tivesse tido algum dia ruim ou feito algo drasticamente errado", diz ele."

"Roglic 💵 tinha um panfleto e ele merecia ganhar. Não é como se eu o tivesse perdido - foi difícil, você lidera 💵 a Giro pela metade da corrida para depois perder 15 segundos no último dia: É duro! Mas então [o psicólogo] 💵 Steve Peters sempre dizia 'A vida não está justa'. Continue com isso'".

Thomas decidiu correr no Giro, que começa betfair como ganhar dinheiro Turim 💵 sábado próximo e o Tour de France neste verão. "Eu queria voltar ao giro depois do ano passado... E a 💵 turnê é essa: No fundo da minha mente eu sempre pensei 'Sod it! Por quê não tento fazer as duas 💵 coisas?'"

Também no fundo debetfair como ganhar dinheiromente está uma última turra nos Jogos Olímpicos. "Eu adoraria fazer mais um Olimpíada, mas 💵 não quero ir e apenas pegar outro traje", diz ele."Quero ser bom o suficiente para estar com a gritaria da 💵 medalha: já tenho quatro fatos - eu nunca preciso dos outros".

Mas primeiro vem o Giro e a perspectiva de tentar 💵 inviabilizar Tadej Pogacar, aparentemente imparável. A força dominante nesta primavera "Pogáscar é um dos grandes favoritos mas coisas estranhas aconteceram", 💵 diz Thomas."São três semanas - diferente das outras raças". Qualquer pessoa pode ter tido uma má noite"

Então, o astuto profissional 💵 pode descarrilar a Pogacar expressar? "Possuvelmente", ele responde:"mas eu não sou um para jogar jogos mentais. Eu estarei fazendo minha 💵 coisa - tente permanecer consistente e bom betfair como ganhar dinheiro todo caminho através dele uma corrida que adora vencer quando se 💵 aposentar vai ser dos maiores do mundo."

Falando enquanto ele coloca os toques finais parabetfair como ganhar dinheiropreparação de corrida pré-Giro no 💵 Tour dos Alpes, o piloto galês tem segurança betfair como ganhar dinheiro suas mentes depois que uma série do acidente deixou Jonas Vingegaard 💵 – vencedor da Volta à França nos últimos dois anos - Wout van Aert.

"Todos estão falando sobre isso agora porque 💵 os grandes nomes dos pilotos caíram, mas está acontecendo há anos", diz ele. “Corrida já tem esse elemento de perigo; 💵 Mas eu sinto que poderia fazer muito mais para aumentar a segurança ”. Há móveis rodoviários e calmantes no trânsito 💵 com as cervas saindo do carro todo aquele tipo disso tudo o resto Isso acrescenta um fator perigoso também quando 💵 você entra nele [se pensar nisso].”

Geraint Thomas (centro) monta o Tour dos Alpes.

: Tim de Waele/Getty

Imagens

As palavras de 💵 Thomas provam proféticas. Apenas 48 horas depois, durante a Tour dos Alpes o piloto australiano Chris Harper caiu betfair como ganhar dinheiro uma 💵 descida rápida e atirou cabeça primeiro para um poste-luz sem proteção Felizmente os 29 anos escaparam com apenas feridas 💵 superficiais ou concussão "Noventa por cento do pessoal não vai saber as estradas [nesta corrida]", diz Tomás."Você está descendo essas 💵 descendendo... voando sobre elas se fosse novo '".

Thomas apoia plenamente a declaração pública feita pelo proprietário do Ineos Grenadiers, Jim 💵 Ratcliffe. que betfair como ganhar dinheiro meados de abril emitiu um apelo público para uma escalada dos protocolos da segurança ciclismo'"Os ciclista sempre 💵 vai empurrar as coisas ao limite como eles são atletas elite", disse Ratclife antes pedindo David Lappartient o presidente das 💵 autoridades mundiais UCI “para garantir” A Segurança Do Esporte »

Os comentários recentes de Lappartient, que "50% dos acidentes" são devido 💵 ao o chamado “atitude” do ciclista não se dão bem com Thomas. Mesmo reconhecendo alguns pilotos assumindo riscos ele nem 💵 arriscaria: ”Eu acho a lapporiente precisa focar mais nos 50% aos quais pode afetar”, diz Tomás.” Eu concordo no seu 💵 discurso mas isso ainda significa para mim tudo e é um pouco menos”. Isso quer dizer 50 por cento."

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Enquanto isso, Ratcliffe pode ter grandes planos para o Manchester United mas Thomas diz que 💵 outra vitória do Tour de France também está betfair como ganhar dinheirobetfair como ganhar dinheiromente. "Jim realmente quer ganhar a turnê", ele disse:"Fair play 💵 - esse é um jogo final e isto nós estamos tentando fazer Isso poderia levar alguns anos eu ainda 💵 acredito Que esta equipe possa voltar até lá".

Thomas, um fã de longa data do Arsenal disse que ele e Ratcliffe 💵 trocaram mensagens depois da aquisição majoritária pelo bilionário ao United se tornar realidade. "Quando o acordo passou por isso ”, 💵 Ele me enviou uma mensagem na véspera no Natal dizendo: 'United's happening'. Eu fiquei tipo ‘Ah doce – espero você 💵 venha betfair como ganhar dinheiro segundo lugar para arsenal’. Apenas respondeu “Ouch”.

O antigo chefe da equipe de Thomas, Sir David Brailsford (embora dedicando 💵 grande parte do seu tempo ao projeto Manchester Ratcliffe), permanece betfair como ganhar dinheiro contato. "Tenho a impressão que ele ainda sente falta 💵 maciçamente na equipa", diz Tomás."É o bebê dele realmente - começou-o!

"Ele ainda é muito apaixonado pelo esporte. Ele me dá 💵 um anel de vez betfair como ganhar dinheiro quando, ele continua envolvido mas tem muitas outras coisas acontecendo no mundo todo." É meio 💵 estranho ver Dave na Sky Sports sentado ao lado do Sir Alex Ferguson... Mas adora isso e ama o desafio 💵 que faz".

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As regras básicas da roleta

Antes de entrarmos nos cálculos, é importante entender as regras básicas 💰 do jogo. Na roleta americana, existem 38 números, incluindo 0 e 00. Quando você faz uma aposta em um único 💰 número, essa é chamada de "aposta direta" e paga 35:1 se o número acertado. Isso significa que, além de recuperar 💰 betfair como ganhar dinheiro aposta inicial, você ganha 35 vezes essa quantia.

Calculando seus potenciais ganhos

Se você apostar US$ 5 em um número na 💰 roleta, seu potencial de ganho pode ser calculado multiplicando betfair como ganhar dinheiro aposta inicial (US$ 5) pela quantia paga para uma aposta 💰 direta (35:1). Isso resulta em US$ 175 em potenciais ganhos (US$ 5 x 35 = US$ 175).

O jogo, portanto, requer a presença de três elementos: consideração (uma quantia apostada), risco (chance) e um prêmio.

[1] O resultado 🎉 da aposta geralmente é imediato, como um único lançamento de dados, um giro de uma roleta ou um cavalo cruzando 🎉 a linha de chegada, mas prazos mais longos também são comuns, permitindo apostas no resultado de uma futura competição esportiva.

ou 🎉 mesmo uma temporada esportiva inteira.

Os jogos de apostas são importante atividade comercial internacional, com o mercado legal de jogos de 🎉 azar totalizando cerca de 335 bilhões de dólares em 2009.[2]

Em alguns países, a atividade de jogo a dinheiro é legal.

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Foi escrita 🧬 por Cristianne Fridman, com a colaboração de Camilo Pellegrini, Jussara Fazolo, Aline Garbati, Carla Piske e Alexandre Teixeira, tendo a 🧬 direção geral de Alexandre Avancini e a direção de criação de Alexandre Boury, Viviane Jundi, Hamsa Wood e Arme Manente.

Em 🧬 Portugal, a novela foi exibida entre 2 de janeiro e 17 de dezembro de 2012 pelo canal RTP1.[5]

Contou com as 🧬 atuações de Guilherme Berenguer, Julianne Trevisol, Thaís Fersoza, Beth Goulart, Lucinha Lins, Luiz Guilherme, Betty Lago e Denise Del Vecchio.[2][6]

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Foi um símbolo do Atlético Nacional e da betfair como ganhar dinheiro cidade natal.

Era conhecido como "cavalheiro do futebol"[1] e chegou a ser 4️⃣ capitão da seleção colombiana e campeão da Copa Libertadores da América, em 1989.

Teve uma breve passagem pela Suíça, onde defendeu 4️⃣ o Young Boys.

Disputou as Copas do Mundo de 1990 e 1994 e se tornou conhecido por ter feito um gol 4️⃣ contra que ajudou a desclassificar a Colômbia em 1994, provavelmente o motivo pelo qual foi assassinado no mês seguinte em 4️⃣ betfair como ganhar dinheiro cidade natal.

De prestigiada família, Escobar estudou no Colégio Calasanz em Conrado Gonzalez, um bairro de betfair como ganhar dinheiro cidade natal, onde 4️⃣ se graduou.

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Você está procurando maneiras de melhorar suas chances para ganhar no handicap europeu? Não procure mais! Neste artigo, discutiremos algumas 🍏 estratégias eficazes que podem ajudá-lo a aumentar as oportunidades do sucesso.

1. Entenda os fundamentos do Handicap Europeu.

Antes de mergulharmos nas 🍏 estratégias, é essencial entender os fundamentos do handicap europeu. No Handicape Europeu um desvantagem virtual que não seja o 🍏 favorito para vencer a equipe -1,-2 ou-3 indica qual número dos gols da equipa favorita precisa ganhar por vitória

2. Analisar 🍏 estatísticas da equipe.

Para aumentar suas chances de ganhar no handicap europeu, é crucial analisar as estatísticas da equipe. Você deve 🍏 olhar para o desempenho das duas equipes em seus jogos anteriores incluindo vitórias e derrotas - esta análise irá 🍏 ajudá-lo a entender os pontos fortes ou fracos do time que você está jogando com cada um deles (e tomar 🍏 decisões informada quando fizer apostas).

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Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos 👌 passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa.

Em particular, um martingale é uma sequência 👌 de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança 👌 do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente 👌 observados.[1]

O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.

Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade 👌 de falência.

Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode 👌 ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.

Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as 👌 cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros.

Assim, o valor esperado do 👌 próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o 👌 do presente evento se uma estratégia de ganho for usada.

Martingales excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico 👌 do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.

É também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações 👌 perdidas.

Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim sucessivamente, até o acerto.

Martingale é o sistema de apostas mais 👌 comum na roleta.

A popularidade deste sistema se deve à betfair como ganhar dinheiro simplicidade e acessibilidade.

O jogo Martingale dá a impressão enganosa de 👌 vitórias rápidas e fáceis.

A essência do sistema de jogo da roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma 👌 chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você 👌 perder, dobramos e apostamos $ 2.

Se perdermos na roleta, perderemos a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 👌 1) de $ 3.4, por exemplo.

duas apostas ganham (1 + 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de 👌 $ 1 na roleta.

Se você perder uma segunda vez na roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).

Se 👌 ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da 👌 roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino [2].

Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de 👌 estratégias de aposta popular na França do século XVIII.

[3][4] A mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em 👌 que o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa.

A estratégia fazia o apostador 👌 dobrar betfair como ganhar dinheiro aposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além 👌 de um lucro igual à primeira aposta.

Conforme o dinheiro e o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, 👌 a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como 👌 algo certo.

Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que 👌 a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma 👌 vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites às apostas).

Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, 👌 pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.

O conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por 👌 Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome.

[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 👌 por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales contínuos.

[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por 👌 Joseph Leo Doob, entre outros.

[8] Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]

Uma definição 👌 básica de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis 👌 aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo 👌 n {\displaystyle n} ,

E ( | X n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }

E ( 👌 X n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, X n ) = X n .

{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid 👌 X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}

Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente 👌 observação.[10]

Sequências martingale em relação a outra sequência [ editar | editar código-fonte ]

Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 👌 2 , Y 3 , ...

{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...

} é considerada um martingale em relação a outra sequência X 1 , X 👌 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} se, para todo n {\displaystyle n} ,

E ( | Y n | ) 👌 < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }

E ( Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, 👌 X n ) = Y n .

{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}

Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em 👌 relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo 👌 t {\displaystyle t} ,

E ( | Y t | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }

E ( 👌 Y t ∣ { X τ , τ ≤ s } ) = Y s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle 👌 \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}

Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de 👌 qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é 👌 igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).

Em geral, um processo 👌 estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times \Omega \to S} é um martingale em relação a uma 👌 filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade P {\displaystyle P} se

Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de 👌 probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ,\Sigma ,P}

espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ 👌 ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma 👌 _{\tau }}

função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ 👌 t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}

E P ( | Y t | ) < + ∞ 👌 ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}

Para todo s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s

E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) 👌 = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do 👌 evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ 👌 s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 👌 ]

É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual 👌 os valores esperados são assumidos).

É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em relação a uma medida, mas não 👌 em relação a outra.

O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo 👌 de Itō é um martingale.[12]

Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ]

Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número 👌 de dimensões) é um exemplo de martingale.

O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta 👌 com que ele se envolver forem honestos.

Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.

A cada iteração, 👌 uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor.

Para qualquer cor dada, a fração 👌 das bolas na urna com aquela cor é um martingale.

Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda 👌 que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo 👌 fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo 👌 número de bolas não vermelhas alteraria.

Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}

moeda honesta foi 👌 jogada Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : 👌 n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda 👌 for jogada.

raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.

No caso de um martingale de Moivre, suponha que 👌 a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}

X n 👌 + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}

Y n = ( 👌 q / p ) X n .

{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}

Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , 👌 ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...

\}} E [ 👌 Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, X n ] = p ( q / p ) 👌 X n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / 👌 p ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p 👌 ) X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X 👌 n = ( q / p ) X n = Y n .

{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}

No teste de razão de 👌 verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , 👌 ...

, X n {\displaystyle X_{1},...

,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}}

Y n = ∏ i = 1 n 👌 g ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}

Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} 👌 g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X 👌 n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Suponha que uma ameba se divide em duas 👌 amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n 👌 = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então

{ r X n 👌 : n = 1 , 2 , 3 , .

.

.

} {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}

é um martingale em relação a { 👌 X n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Uma série martingale criada por software.

Em uma 👌 comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o 👌 número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto 👌 como uma sequência de variáveis aleatórias.

Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.

Se { 👌 N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { 👌 N t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}

Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas 👌 [ editar | editar código-fonte ]

Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação 👌 atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | 👌 X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...

,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior 👌 à expectativa condicional.

Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o 👌 estudo das funções harmônicas.

[15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X 👌 τ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall 👌 s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta 👌 f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace.

Dado um processo de movimento browniano W t 👌 {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} 👌 também é um martingale.

Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , 👌 .

.

.

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a

E [ X n + 1 | X 1 , .

.

.

, X 👌 n ] ≥ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.

} Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E 👌 [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t 👌 .

{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ 👌 f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n 👌 {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

De forma análoga, 👌 um supermartingale de tempo discreto satisfaz a

E [ X n + 1 | X 1 , .

.

.

, X n 👌 ] ≤ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.

} Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ 👌 X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle 👌 {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f 👌 ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle 👌 X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

Exemplos de submartingales e 👌 supermartingales [ editar | editar código-fonte ]

Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale.

Reciprocamente, todo processo estocástico que é 👌 tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.

Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara 👌 e perde $1 quando a moeda der coroa.

Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara 👌 com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 👌 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2}

Uma função convexa de um martingale é um submartingale 👌 pela desigualdade de Jensen.

Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale 👌 (o que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}

Martingales e tempos de parada 👌 [ editar | editar código-fonte ]

Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , 👌 X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de 👌 que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau 👌 =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ...

, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} 👌 .

A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência 👌 até o momento e dizer se é hora de parar.

Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que 👌 um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele 👌 pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com 👌 base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]

Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se 👌 apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X 👌 t + 1 , X t + 2 , ...

{\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},...

} , mas não que isto seja completamente determinado pelo 👌 histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} .

Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no 👌 parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados.

Uma 👌 das propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale 👌 e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) 👌 t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle 👌 X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.

O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, 👌 incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale 👌 em um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.

Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de 👌 jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas 👌 o evento atual importa.

Em particular, um martingale é uma sequência de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o 👌 qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente 👌 observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.[1]

O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.

Ele pode 👌 modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade de falência.

Em contraste, em um processo que não é um 👌 martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo 👌 seguinte.

Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir 👌 a incerteza sobre os eventos futuros.

Assim, o valor esperado do próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de 👌 todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o do presente evento se uma estratégia de ganho for usada.

Martingales 👌 excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.

É 👌 também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações perdidas.

Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim 👌 sucessivamente, até o acerto.

Martingale é o sistema de apostas mais comum na roleta.

A popularidade deste sistema se deve à betfair como ganhar dinheiro 👌 simplicidade e acessibilidade.

O jogo Martingale dá a impressão enganosa de vitórias rápidas e fáceis.

A essência do sistema de jogo da 👌 roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": 👌 fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você perder, dobramos e apostamos $ 2.

Se perdermos na roleta, perderemos 👌 a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 1) de $ 3.4, por exemplo.

duas apostas ganham (1 + 👌 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de $ 1 na roleta.

Se você perder uma segunda vez na 👌 roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).

Se ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 👌 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino 👌 [2].

Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de estratégias de aposta popular na França do século XVIII.

[3][4] A 👌 mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em que o apostador ganhava se a moeda desse cara e 👌 perdia se a moeda desse coroa.

A estratégia fazia o apostador dobrar betfair como ganhar dinheiro aposta depois de cada derrota a fim de 👌 que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além de um lucro igual à primeira aposta.

Conforme o dinheiro e 👌 o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, 👌 o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como algo certo.

Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os 👌 apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das 👌 razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites 👌 às apostas).

Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.

O 👌 conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse 👌 dado este nome.

[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales 👌 contínuos.

[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por Joseph Leo Doob, entre outros.

[8] Parte da motivação daquele trabalho 👌 era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]

Uma definição básica de um martingale de tempo discreto diz que ele 👌 é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , 👌 ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo n {\displaystyle n} ,

E ( | X n | ) 👌 < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }

E ( X n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, 👌 X n ) = X n .

{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}

Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, 👌 dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente observação.[10]

Sequências martingale em relação a outra sequência [ editar | 👌 editar código-fonte ]

Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 2 , Y 3 , ...

{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...

} é considerada um 👌 martingale em relação a outra sequência X 1 , X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} se, para todo 👌 n {\displaystyle n} ,

E ( | Y n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }

E ( 👌 Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, X n ) = Y n .

{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid 👌 X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}

Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um 👌 processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo t {\displaystyle t} ,

E ( | Y t | ) 👌 < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }

E ( Y t ∣ { X τ , τ ≤ s 👌 } ) = Y s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}

Isto 👌 expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas 👌 as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que 👌 s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).

Em geral, um processo estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times 👌 \Omega \to S} é um martingale em relação a uma filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade 👌 P {\displaystyle P} se

Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega 👌 ,\Sigma ,P}

espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} 👌 Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma _{\tau }}

função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t 👌 {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}

E 👌 P ( | Y t | ) < + ∞ ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}

Para todo s 👌 {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s

E P ( 👌 [ Y t − Y s ] χ F ) = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} 👌 em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como 👌 Y s = E P ( Y t | Σ s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} 👌 que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 ]

É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a 👌 filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual os valores esperados são assumidos).

É possível que Y {\displaystyle Y} 👌 seja um martingale em relação a uma medida, mas não em relação a outra.

O Teorema de Girsanov oferece uma forma 👌 de encontrar uma medida em relação à qual um processo de Itō é um martingale.[12]

Exemplos de martingales [ editar | 👌 editar código-fonte ]

Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número de dimensões) é um exemplo de martingale.

O dinheiro de um 👌 apostador é um martingale se todos os jogos de aposta com que ele se envolver forem honestos.

Uma urna de Pólya 👌 contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.

A cada iteração, uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por 👌 várias outras da mesma cor.

Para qualquer cor dada, a fração das bolas na urna com aquela cor é um martingale.

Por 👌 exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e 👌 não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração 👌 de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo número de bolas não vermelhas alteraria.

Suponha que X n {\displaystyle 👌 X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}

moeda honesta foi jogada Considere Y n = X n 2 − n 👌 {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle 👌 \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.

raiz quadrada do número de vezes que a moeda 👌 for jogada.

No caso de um martingale de Moivre, suponha que a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p 👌 {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}

X n + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} 👌 com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}

Y n = ( q / p ) X n .

{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}

Então, { Y 👌 n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X n : n = 1 👌 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...

\}} E [ Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, 👌 X n ] = p ( q / p ) X n + 1 + q ( q / p 👌 ) X n − 1 = p ( q / p ) ( q / p ) X n + 👌 q ( p / q ) ( q / p ) X n = q ( q / p ) 👌 X n + p ( q / p ) X n = ( q / p ) X n = 👌 Y n .

{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}

No teste de razão de verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f 👌 {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , ...

, X n {\displaystyle X_{1},...

,X_{n}} [ 13 ] Considere Y 👌 n {\displaystyle Y_{n}}

Y n = ∏ i = 1 n g ( X i ) f ( X i ) 👌 {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}

Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 👌 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , 👌 ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Suponha que uma ameba se divide em duas amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 👌 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} 👌 p {\displaystyle p} [ 14 ] Então

{ r X n : n = 1 , 2 , 3 , .

.

.

👌 } {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}

é um martingale em relação a { X n : n = 1 , 2 , 3 👌 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Uma série martingale criada por software.

Em uma comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico 👌 particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado 👌 é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto como uma sequência de variáveis aleatórias.

Esta sequência é um martingale 👌 sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.

Se { N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} 👌 processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { N t − λ t : t ≥ 0 } 👌 {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}

Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas [ editar | editar código-fonte ]

Há duas generalizações populares de 👌 um martingale que também incluem casos em que a observação atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à 👌 futura expectativa condicional E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...

,X_{n}]} , 👌 mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior à expectativa condicional.

Estas definições refletem uma relação entre a teoria 👌 do martingale e a teoria do potencial, que é o estudo das funções harmônicas.

[15] Assim como um martingale de tempo 👌 contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s } − X s = 👌 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz 👌 a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o 👌 operador de Laplace.

Dado um processo de movimento browniano W t {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , 👌 o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} também é um martingale.

Um submartingale de tempo discreto é uma 👌 sequência X 1 , X 2 , X 3 , .

.

.

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a

E [ X 👌 n + 1 | X 1 , .

.

.

, X n ] ≥ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.

} Da 👌 mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ 👌 s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em 👌 teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o 👌 prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 👌 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

De forma análoga, um supermartingale de tempo discreto satisfaz a

E [ X n 👌 + 1 | X 1 , .

.

.

, X n ] ≤ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.

} Da mesma 👌 forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s 👌 } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria 👌 do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo 👌 "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 👌 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

Exemplos de submartingales e supermartingales [ editar | editar código-fonte ]

Todo martingale é também 👌 um submartingale e um supermartingale.

Reciprocamente, todo processo estocástico que é tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.

Considere novamente 👌 um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara e perde $1 quando a moeda der coroa.

Suponha agora que 👌 a moeda possa estar viesada e que ela dê cara com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 👌 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 👌 {\displaystyle 1/2}

Uma função convexa de um martingale é um submartingale pela desigualdade de Jensen.

Por exemplo, o quadrado da riqueza de 👌 um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale (o que também se segue do fato de que X 👌 n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}

Martingales e tempos de parada [ editar | editar código-fonte ]

Um tempo de parada em 👌 relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} é uma 👌 variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou 👌 a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 👌 2 , X 3 , ...

, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} .

A intuição por trás da definição é que, a qualquer 👌 tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência até o momento e dizer se é hora de parar.

Um 👌 exemplo na vida real pode ser o tempo em que um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode 👌 ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), 👌 mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]

Em alguns 👌 contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ 👌 = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X t + 1 , X t + 2 , ...

{\displaystyle 👌 X_{t+1},X_{t+2},...

} , mas não que isto seja completamente determinado pelo histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} .

Isto 👌 é uma condição mais fraca do que aquela descrita no parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em 👌 algumas das provas em que tempos de parada são usados.

Uma das propriedades básicas de martingales é que, se ( X 👌 t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, 👌 então, o processo parado correspondente ( X t τ ) t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t 👌 τ := X min { τ , t } {\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.

O conceito de 👌 um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma 👌 que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale em um tempo de parada é igual ao seu valor 👌 inicial.

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Introdução: O que é o Der Klassiker?

Der Klassiker é um jogo de futebol que reúne dois dos maiores clubes alemães: 🤶 o Bayern de Munique e o Borussia Dortmund. A partida é uma grandeatração para os fãs de futebol de todo 🤶 o mundo e a cada edição é esperada com grande antecipação.

História do Der Klassiker

Der Klassiker tem uma longa história e 🤶 é um dos jogos mais importantes no calendário de futebol alemão. O Bayern de Munique lidera o histórico de confrontos 🤶 com 35 vitórias, 21 derrotas e 18 empates. No entanto, o Borussia Dortmund não se dará por vencido facilmente, especialmente 🤶 com a jovem estrela norueguesa Erling Haaland e o promissor meio-campista britânico Jude Bellingham como as suas principais armas.

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Seu primeiro campeonato foi na extinta F-1 com vitória de seu companheiro 🧾 de equipe, o britânico Nigel Short que em conjunto com vários outros prêmios, vencendo o campeonato.

Em 1993, a revista masculina 🧾 do mundo masculino "The International Explorer", especializada em competições de pôquer amador, publicou que ela havia vencido o concurso mundial, 🧾 "World of the Smoking Machine", para ganhar umamedalha de ouro.

No ano seguinte, ganhou na primeira semana com betfair como ganhar dinheiro primeira vitória 🧾 em campeonatos profissionais e mais tarde em campeonatos amadores, "World of the Smoking Machine International".

Brick Johnson é casada com Jota 🧾 Davis desde 1997, com quem tem duas filhas, Jessica (nascida em 1997) e Michael.

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