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postado por cantorslonim.com 2024/11/22 1:32:27

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No mais recente de seus discursos visionários sobre o futuro da Europa, Emmanuel Macron pediu que a UE se transforme 🍌 jogo slot que ganha dinheiro um poder militar ou enfrente "morte". Ainda assimjogo slot que ganha dinheiroprópria presidência na França pode estar prestees para entrar numa 🍌 zona longa do crepúsculo.

A impopularidade de Macron é a principal razão pela qual seu partido pró-renascentista centrismo da Renascença Europeia 🍌 está atrás do segundo lugar nas pesquisas por trás das eleições nacionais, liderada pelo político Marine Le Pen. O último 🍌 grupo eleitoral europeu (RN). Na última eleição presidencial realizada jogo slot que ganha dinheiro 2007, o gole dele foi liderado pelos republicanos Jordan Bardella 🍌 e caiu para 17,5% na pesquisa mais recente enquanto que no Renascimento foram liderados pelas pouco conhecidas deputada Valérie Hayer;

A 🍌 votação da UE é vista como um teste porque foi a última eleição nacional programada na França antes das eleições 🍌 presidenciais de 2027, nas quais Le Pen deve fazerjogo slot que ganha dinheiroquarta e mais promissora candidatura ao poder.

Macron está apenas dois 🍌 anos jogo slot que ganha dinheiro seu segundo mandato no Palácio do Eliseu, mas falta uma maioria parlamentar dentro de casa e com o 🍌 governo sob a ameaça permanente da moção sem confiança. Ele corre risco se tornar um pato coxo prematuro;jogo slot que ganha dinheiroinfluência 🍌 europeia também é posta à prova porque os liberais (Renovar Europa) que estão sentados ao lado dele devem perder assentos 🍌 na Câmara dos Deputados Europeus –e há muitos líderes progressistaes diminuindo quando eleitores europeus balançam para direita Além disso!

O presidente 🍌 de 46 anos tem a culpa, principalmente porjogo slot que ganha dinheirosituação política. Ele personalizou tanto seu estilo do governo que os 🍌 eleitores o acusam para tudo desde as despesas com vida até ao aumento da violência juvenil e risco terrorista durante 🍌 este verão Jogos Olímpicos Paris s (em inglês).

"Macron acha que não importa se ninguém ouviu falar de seu candidato principal 🍌 porque está convencido, ele pode mudar o voto pró-europeu por trás do nome", disse um deputado sênior no próprio grupo 🍌 presidencial.

O partido ainda não concordou quem estará najogo slot que ganha dinheirolista de candidatos, que deve ser anunciada jogo slot que ganha dinheiro 7 maio. As 🍌 intensas lutas continuam nos bastidores entre os deputados atuais se apegando aos seus assentos e as quatro partes centristas aliada 🍌 tentando colocar suas próprias candidataes; enquanto o equilíbrio do gênero precisa da pressão para enfrentar alguns novos rostos complicam toda 🍌 essa tarefa: dos 23 lugares no parlamento cessante das urnas francesa...

O Renascimento enfrenta crescente competição para eleitores de centro-esquerda da 🍌 outra estrela surpresa até agora, Raphal Glucksmann. líder do pequeno partido Place Publique que lidera a lista socialista e é 🍌 creditado com 13% nas últimas pesquisas o filho intelectual dos filósofos André Gucksman jogo slot que ganha dinheiro campanha numa plataforma maciça apoio à 🍌 Ucrânia (e maior justiça social) está se recuperando por partidários insatisfeito Macron como também os defensores estrangeiros das esquerda

Se, como 🍌 sugerem as pesquisas de opinião pública do partido La France Insoumise (França Unbowed), terminar um sexto distante na votação e 🍌 seguir não só os socialistas mas também o ecologista a ambição da marca-de fogo 72 anos para liderar à esquerda 🍌 francesa nas eleições presidenciais 2027 parecerá threadbare.

No outro extremo do espectro, o partido conservador dominante Les Républicains (LR), poderia ser 🍌 outra vítima da votação de junho. O outrora poderoso movimento gaullista dividido por disputas internas e divisões políticas parece estar 🍌 prestes a se tornar novamente aninhado pelo RN Le Pen que está consolidandojogo slot que ganha dinheiroposição como força principal na direita 🍌 francesa --e único ainda não teve chance no poder!

O cientista político e pollster Chloé Morin argumentou jogo slot que ganha dinheiro um livro intitulado 🍌 On aura tout essay ("Nós tentamos tudo o mais"), que Le Pen poderia ganhar as próximas eleições presidenciais porque os 🍌 eleitores franceses sentem-se como sucessivos presidentes de direita, esquerda ou centro não conseguiram resolver seus problemas nem reverter aquilo com 🍌 muitos percebem no declínio do seu país.

Isso pode ser prematuro. Há um longo caminho até 2027 e Macron ainda tem 🍌 opções para recuperar o impulso, mesmo que não seja fácil? ele poderia remodelar seu governo novamente mas fez isso recentemente 🍌 com pouco efeito duradouro Ele podia dissolver parlamentos E forçar uma nova eleição legislativa se a moção de desconfiança passou 🍌 Mas isto bem poder entregar vitória ao RN Também pôde convocar referendo sobre alguma questão popularMas os eleitores podem usá-lo 🍌 Para punir presidente impopulares!

Talvez ajogo slot que ganha dinheiromelhor esperança de escapar à situação interna seja aproveitar o vazio da liderança europeia 🍌 e avançar com os objectivos que definiu no seu discurso na Sorbonne. Ele apelou para uma defesa financiada por empréstimos 🍌 conjuntos, um mais dirigível política económica polaca Europeia proteccionista competirem entre EUA-China mas terá perante ele tarefa difícil convencer alemães 🍌 frugals jogo slot que ganha dinheiro levantar dívida comum aos gastos comuns do sector defensivo europeu "livre comércio holandês"

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A grande visão de Macron para a Europa pode não salvar seu partido do 🍌 esfregaço nas eleições, mas isso poderia posicioná-lo apenas como um retorno no palco da UE se França puder vencer esses 🍌 argumentos.

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A edição de 2006 do torneio marcou a décima-oitava vez que a Seleção Brasileira de Futebol participou da Copa do 💵 Mundo FIFA e a quinta vez em que defendeu o título de campeã.

Foi a primeira vez em que o país 💵 campeão disputou as eliminatórias.

A participação do Brasil na Copa do Mundo de 2006 foi encarada com muito otimismo.

O Brasil era 💵 o atual campeão, conquistou a Copa América de 2004, a Copa das Confederações FIFA de 2005 e liderou as Eliminatórias 💵 da Copa do Mundo FIFA de 2006.

O técnico foi Carlos Alberto Parreira e o capitão Cafu.

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Com este sistema, o esporte tornou-se conhecido mundialmente, ganhando inúmeros prêmios e patrocínios.

Com a criação da FIVB Worldwide Collegiate (que 🧬 forma parte da iniciativa conjunta da FIVB Eficiência Internacional Group e da World Vereancy Council) em 2009, a FIVB tornou 🧬 possível que jogo slot que ganha dinheiro criação resultasse na criação dos seguintes campeonatos: O esporte já teve diversas outras edições do mesmo, o 🧬 que tornou o Brasil ainda um dos países no mundo em que é hoje

considerado como o berço de uma modalidade 🧬 de voleibol no início do século XX.

O Campeonato Mundial de Basquetebol da FIVB é disputado no mesmo ano e em 🧬 todas as edições disputadas (a primeira no mês de junho e a segunda no mês de setembro).

Além dessa edição, o 🧬 Brasil sediou os Jogos Olímpicos de Verão de 2016, a edição inaugural do Grand Prix, na cidade de Rio de 🧬 Janeiro, que substituiu os Jogos Olímpicos de Inverno de 2016.

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Em 1997, o primeiro prêmio 💴 da FIFA para os jogadores, a Copa do Mundo da FIFA, foi vencido por Pelé com uma assistência de 90 💴 segundos ao gol da Seleção.

No mesmo ano, a FIFA concedeu o primeiro prêmio ao esportista no futebolmasculino, Pelé.

Nos anos 80, 💴 quando a FIFA criou a Copa África do Sul (atual Copa do Mundo da FIFA), a modalidade foi chamada de 💴 "Tipin' a Gula" (em inglês "tentará a Gula para vencer"), para lembrar os jogadores sul-africanos em Copas do Mundo, como 💴 Pelé.

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[1] O estilo é primariamente associado com o FC Barcelona, de La Liga, desde o período de Johan Cruyff como 🍌 treinador até o presente, e a Seleção Espanhola com os treinadores Luis Aragonés e Vicente del Bosque.

Tiki-taka difere do tradicional 🍌 pensamento das formações no futebol para um conceito derivado de um jogo em zona.

O jornalista espanhol Andrés Montes é geralmente 🍌 creditado por inventar e popularizar a expressão tiki-taka durante uma narração pela emissora LaSexta pela Copa do Mundo FIFA de 🍌 2006, embora o termo seja de uso coloquial no futebol espanhol e possivelmente originado por Javier Clemente.

Em jogo slot que ganha dinheiro narração ao 🍌 vivo da partida entre Espanha e Tunísia, Montes usou a seguinte frase para descrever o estilo preciso, elegante e de 🍌 passes da Espanha: "Estamos tocando tiki-taka tiki-taka".

A origem da frase pode ser onomatopeica (referindo-se ao espaço curto dos passes entre 🍌 os jogadores) ou derivada de um brinquedo malabarista chamado tiki-taka em espanhol (bolimbolacho em português).

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No restante do seu período na F.C.

, o pivô também foi selecionado pela F.C.

Internacional, para os amistosos contra a Argentina, 😗 Chile e Colômbia.

No total entre os anos de 2007 a 2010, o pivô recebeu um total de 288 convocações, dos 😗 quais 30 chegaram aos 26 selecionados que participou das Eliminatórias para a Copa do Mundo FIFA de 2014.

Em jogo slot que ganha dinheiro segunda 😗 temporada no clube, ele

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[4] Foi exibido pela primeira vez em 26 de outubro de 1997 nos Estados Unidos pelo canal FOX.

[3] Assim como 👏 nos outros especiais, a oitava edição também é dividida em três contos de terror: um em que Homer Simpson sobrevive 👏 a uma explosão nuclear em Springfield, outro em que Bart Simpson troca de cabeça com uma mosca e o último 👏 em que Marge Simpson e suas irmãs são bruxas em um período colonial.

[4][3] O especial contou com a direção de 👏 Mark Kirkland e a participação de Marcia Wallace, Tress MacNeille, e Maggie Roswell.[3][2]

Cada uma das três histórias possui diversas referências 👏 a produtos, começando pelos títulos "O Homem HΩmega" (o filme The Omega Man), "Mosca contra Mosca" (Fly vs.

Fly - a 👏 história Spy vs.

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Roleta, um jogo de azar comum em cassinos

Um jogo de azar um jogo cujo resultado é fortemente influenciado por algum 🍇 dispositivo de aleatoriedade.

Dispositivos comuns usados incluem dados, piões, cartas de baralho, roletas, bolas numeradas ou, no caso de jogos digitais; 🍇 geradores de números aleatórios.

Um jogo de azar pode ser jogado como um jogo de apostas se os jogadores apostarem dinheiro 🍇 ou qualquer valor monetário.

Os jogos de azar são conhecidos em quase todas as sociedades humanas, embora muitas tenham aprovado leis 🍇 que o restringem.

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Cada canal transmite uma variação da transmissão esportiva, fazendo uso de diferentes ângulos de câmera, elenco e formatos.

A maioria das 🔔 transmissões envolvem todos os canais lineares da ESPN e eventualmente da Walt Disney Television.

O Full Circle estreiou no dia 4 🔔 de Março de 2006, no aniversário da ESPNU.

O evento esportivo escolhido foi a partida entre North Carolina Tar Heels e 🔔 Duke Blue Devils pela temporada regular do basquete universitário.

Na história, houveram apenas seis transmissões do Full Circle.

Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos 🌈 passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa.

Em particular, um martingale é uma sequência 🌈 de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança 🌈 do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente 🌈 observados.[1]

O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.

Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade 🌈 de falência.

Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode 🌈 ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.

Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as 🌈 cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros.

Assim, o valor esperado do 🌈 próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o 🌈 do presente evento se uma estratégia de ganho for usada.

Martingales excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico 🌈 do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.

É também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações 🌈 perdidas.

Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim sucessivamente, até o acerto.

Martingale é o sistema de apostas mais 🌈 comum na roleta.

A popularidade deste sistema se deve à jogo slot que ganha dinheiro simplicidade e acessibilidade.

O jogo Martingale dá a impressão enganosa de 🌈 vitórias rápidas e fáceis.

A essência do sistema de jogo da roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma 🌈 chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você 🌈 perder, dobramos e apostamos $ 2.

Se perdermos na roleta, perderemos a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 🌈 1) de $ 3.4, por exemplo.

duas apostas ganham (1 + 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de 🌈 $ 1 na roleta.

Se você perder uma segunda vez na roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).

Se 🌈 ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da 🌈 roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino [2].

Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de 🌈 estratégias de aposta popular na França do século XVIII.

[3][4] A mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em 🌈 que o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa.

A estratégia fazia o apostador 🌈 dobrar jogo slot que ganha dinheiro aposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além 🌈 de um lucro igual à primeira aposta.

Conforme o dinheiro e o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, 🌈 a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como 🌈 algo certo.

Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que 🌈 a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma 🌈 vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites às apostas).

Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, 🌈 pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.

O conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por 🌈 Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome.

[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 🌈 por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales contínuos.

[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por 🌈 Joseph Leo Doob, entre outros.

[8] Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]

Uma definição 🌈 básica de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis 🌈 aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo 🌈 n {\displaystyle n} ,

E ( | X n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }

E ( 🌈 X n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, X n ) = X n .

{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid 🌈 X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}

Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente 🌈 observação.[10]

Sequências martingale em relação a outra sequência [ editar | editar código-fonte ]

Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 🌈 2 , Y 3 , ...

{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...

} é considerada um martingale em relação a outra sequência X 1 , X 🌈 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} se, para todo n {\displaystyle n} ,

E ( | Y n | ) 🌈 < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }

E ( Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, 🌈 X n ) = Y n .

{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}

Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em 🌈 relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo 🌈 t {\displaystyle t} ,

E ( | Y t | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }

E ( 🌈 Y t ∣ { X τ , τ ≤ s } ) = Y s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle 🌈 \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}

Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de 🌈 qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é 🌈 igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).

Em geral, um processo 🌈 estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times \Omega \to S} é um martingale em relação a uma 🌈 filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade P {\displaystyle P} se

Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de 🌈 probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ,\Sigma ,P}

espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ 🌈 ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma 🌈 _{\tau }}

função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ 🌈 t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}

E P ( | Y t | ) < + ∞ 🌈 ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}

Para todo s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s

E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) 🌈 = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do 🌈 evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ 🌈 s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 🌈 ]

É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual 🌈 os valores esperados são assumidos).

É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em relação a uma medida, mas não 🌈 em relação a outra.

O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo 🌈 de Itō é um martingale.[12]

Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ]

Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número 🌈 de dimensões) é um exemplo de martingale.

O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta 🌈 com que ele se envolver forem honestos.

Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.

A cada iteração, 🌈 uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor.

Para qualquer cor dada, a fração 🌈 das bolas na urna com aquela cor é um martingale.

Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda 🌈 que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo 🌈 fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo 🌈 número de bolas não vermelhas alteraria.

Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}

moeda honesta foi 🌈 jogada Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : 🌈 n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda 🌈 for jogada.

raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.

No caso de um martingale de Moivre, suponha que 🌈 a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}

X n 🌈 + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}

Y n = ( 🌈 q / p ) X n .

{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}

Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , 🌈 ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...

\}} E [ 🌈 Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, X n ] = p ( q / p ) 🌈 X n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / 🌈 p ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p 🌈 ) X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X 🌈 n = ( q / p ) X n = Y n .

{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}

No teste de razão de 🌈 verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , 🌈 ...

, X n {\displaystyle X_{1},...

,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}}

Y n = ∏ i = 1 n 🌈 g ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}

Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} 🌈 g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X 🌈 n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Suponha que uma ameba se divide em duas 🌈 amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n 🌈 = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então

{ r X n 🌈 : n = 1 , 2 , 3 , .

.

.

} {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}

é um martingale em relação a { 🌈 X n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Uma série martingale criada por software.

Em uma 🌈 comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o 🌈 número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto 🌈 como uma sequência de variáveis aleatórias.

Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.

Se { 🌈 N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { 🌈 N t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}

Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas 🌈 [ editar | editar código-fonte ]

Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação 🌈 atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | 🌈 X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...

,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior 🌈 à expectativa condicional.

Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o 🌈 estudo das funções harmônicas.

[15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X 🌈 τ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall 🌈 s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta 🌈 f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace.

Dado um processo de movimento browniano W t 🌈 {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} 🌈 também é um martingale.

Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , 🌈 .

.

.

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a

E [ X n + 1 | X 1 , .

.

.

, X 🌈 n ] ≥ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.

} Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E 🌈 [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t 🌈 .

{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ 🌈 f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n 🌈 {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

De forma análoga, 🌈 um supermartingale de tempo discreto satisfaz a

E [ X n + 1 | X 1 , .

.

.

, X n 🌈 ] ≤ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.

} Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ 🌈 X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle 🌈 {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f 🌈 ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle 🌈 X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

Exemplos de submartingales e 🌈 supermartingales [ editar | editar código-fonte ]

Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale.

Reciprocamente, todo processo estocástico que é 🌈 tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.

Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara 🌈 e perde $1 quando a moeda der coroa.

Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara 🌈 com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 🌈 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2}

Uma função convexa de um martingale é um submartingale 🌈 pela desigualdade de Jensen.

Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale 🌈 (o que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}

Martingales e tempos de parada 🌈 [ editar | editar código-fonte ]

Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , 🌈 X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de 🌈 que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau 🌈 =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ...

, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} 🌈 .

A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência 🌈 até o momento e dizer se é hora de parar.

Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que 🌈 um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele 🌈 pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com 🌈 base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]

Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se 🌈 apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X 🌈 t + 1 , X t + 2 , ...

{\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},...

} , mas não que isto seja completamente determinado pelo 🌈 histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} .

Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no 🌈 parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados.

Uma 🌈 das propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale 🌈 e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) 🌈 t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle 🌈 X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.

O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, 🌈 incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale 🌈 em um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.

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